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第137章

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算术(1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作,在第二、三、六章中有许多比例问题,在世界上也是比较早的。“盈不足”的算法需要给出两次假设,是一项创造,中世纪欧洲称它为“双设法”,有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。《九章算术》中有比较完整的分数计算方法,包括四则运算,通分、约分、化带分数为假分数(中国古代称为通分内子,“内”读为纳)等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。分数加减运算,《九章算术》已明确提出先通分,使两分数的分母相同,然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子,并以为实,母相乘为法,实如法而一”这里“实”是分子。“法”是分母,“实如法而一”也就是用法去除实,进行除法运算,《九章算术》还注意到两点:其一是运算结果如出现“不满法者,以法命之”。就是分子于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者,直相从之”,就是分母相同的分数进行加减,运算时不必通分,使分子直接加减即可。《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为“更相减损”法,其具体步骤是“可半者半之,不可半者,副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。”这里所的“等数”就是最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数,可以折半的先把它们折半,即可先约去2。不都是偶数了,则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算,从大数中减去数,辗转相减,减到余数和减数相等,即得等数。在《九章算术》的第二、三、六等章内,广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下:“粟米之法:粟率五十,粝米三十,粺米二十七,糳米二十四,……”这是:谷子五斗去皮可得糙米三斗,又可舂得九折米二斗七升,或八拆米二斗四升,……。例如,粟米章第一题:“今有粟米一斗,欲为粝米,问得几何”。它的解法是:“以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一”。《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题:“今有(人)共买物,(每)人出八(钱),盈(余)三钱;人出七(钱),不足四(钱),问人数、物价各几何”,“答曰:七人,物价53(钱)。”“盈不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘(即交错相乘)所出率,并以为实,并盈,不足为法,实如法而一……置所出率,以少减多,余,以约法、实。实为物价,法为人数”。盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造,它在中国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家,受到特别重视,被称为“契丹算法”,后来又传入欧洲,中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。

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